机器心脏汇编
一切都从下注开始。
在1980年代后期，在洛桑举行的一次会议上，两位数学家Noga Alon和Peter进行了友好的辩论。当时，他们俩都在研究一组节点和边缘，一个图。他们想更好地理解一种看似矛盾的图形类型，称为“扩展图”，该类型的边缘相对较少，但仍然高度互连。
辩论的重点是最佳扩展图：那些具有尽可能较强连通性的扩展图。认为这样的图很少见，他和两个合作者很快发表了一篇论文，该论文使用数字理论中的复杂思想来构建示例，并指出任何其他结构都同样难以实现。
另一方面，Alon希望随机图通常显示出各种最佳特性，他认为这些非常出色的扩展图将很常见。如果您从大量可能性中随机选择图形，则几乎可以保证它是最佳的扩展图。
彼得在左边，右边的诺加·阿隆（Noga Alon）。
今天，阿隆是普林斯顿大学的同事。 BET的细节数十年来已经变得模糊了。阿隆回忆说：“当时还不太严重，我们对赌注的内容有不同的看法。”
尽管如此，这个传奇仍在流传，巧妙地提醒了正确的数学家。
最近，三位数学家终于通过探索物理学中的关键现象并将其推向极限来裁定赌注。他们俩都错了。
扩展限制
自1960年代数学家开始研究扩展图以来，它们已被用于大脑建模，统计分析和误差校正代码的构建。由于扩展图中的边数非常小，因此效率极高。同时，由于扩展图高度连接，因此它仍然能够抵抗潜在的网络故障。这种矛盾“使扩展图既符合符合直觉又非常有用”。
因此，数学家希望更好地理解他们。 “减少边缘数”和“增加图形的连接性”扩展之间的这种矛盾可以在多远？良好的扩展图具有最高的张力？
为了回答这些问题，研究人员需要准确定义扩展图。有很多方法可以做到这一点，其中之一是：为了将扩展图分为两个单独的部分，您需要删除许多边缘。另一种方法是：如果您沿着图的边缘悬停并在每个步骤中随机选择方向，则可以快速探索整个图。
下图是扩展图的示例。每个节点只有三个边缘，但是连接性很高。如果您沿着图的边缘随机行走，那么探索整个图形就不会花费很长时间。
下图是一个非扩展示例，该示例的连接性较差，从一个节点到另一个节点的路径很少。
1984年，数学家乔兹夫（Józef）证明了所有这些扩展度量均以一定数量相关，至少对于某些类型的图形。在这些所谓的“常规图”中，每个节点具有相同数量的边缘，从而确保整个图中的边数相对较小。因此，为了使其成为扩展图，您只需要证明它已连接。这是数字（）的来源。
要计算此数字，您必须首先构造1和0的数组，称为邻接矩阵。该邻接矩阵指示图中的哪些节点通过边缘连接，哪些节点不通过边缘连接。
然后，您可以使用矩阵来计算一系列称为（）的数字，这些数字可以提供有关原始图的有用信息。例如，最大的特征值给出了图中每个节点连接的边数。乔兹夫（Józef）发现，第二大特征值可以告诉您图形的连接性。数字越小，图形的连接越好 - 这使其成为更好的扩展图。
约瑟夫（Józef）的发现后不久，阿隆（Alon）和另一位数学家拉维（Ravi
小得多。第二个常规图，其特征值靠近“ Alon-”是一个很好的扩展图。与其他具有相同数量边缘数量的常规图相比，它具有良好的连接性。但是，如果第二个特征值实际达到边界，则该图是可以想象的最佳扩展图。
对于一些数学家来说，包括“ Alon-”是一个令人着迷的挑战。他们想知道：我们可以构建达到此限制的图吗？
随机赌博
在1988年发表的具有里程碑意义的论文中，拉尔夫斯找到了一种方法。他们使用了印度数学天才在数字理论领域实现的出色技术成就来构建满足“ Alon-”的常规图。
因此，他们将这些最佳扩展图称为“ 图”（）。 （同年，使用不同但同样出色的方法构建了其他示例。）
纸张地址：
新泽西州普林斯顿高级研究所的拉蒙·范（Ramon Van）说：“直觉上，您可能会很难建立一个几乎难以实现的图。” “似乎最佳图应该很难实现。”
但是在数学中，难以构造的事物通常令人惊讶地普遍。范说：“这是数学界的普遍现象。” “您无法想象将具有这些属性，但是随机的例子会。”
包括阿隆在内的一些研究人员认为，相同的原则可能适用于。阿隆认为，找到这些地图所需的巨大努力并不是大量的物质，而是反映人类思维方式。这种信念导致与Alon的赌注：敢打赌，如果收集了所有常规图片，则只有一小部分是图片。阿隆认为几乎所有图片都是图片。
很快，即使人们对当时的回忆有不同的回忆，也有关于与阿隆投注的谣言。 “说实话，这更像是民间传说，”我承认，“我实际上并不记得。”
几十年后，在2008年，对大量常规图的分析及其特征值表明，乍一看答案尚不清楚。有些图符合的定理，而另一些图则不符合。这只会使很难找到确切的比率。
数学家在证明适用于所有图表的属性方面具有丰富的工具箱（或无适用）。但是，要证明某些图形符合的定理，而其他图形则不需要精度，并且图理论家不确定该精度来自何处。
后来发现，在完全不同的数学领域，一个名叫Horng-Tzer Yau的研究人员正在解决这个问题。在研究与随机图相关的矩阵的花费十多年之后，Yao 解决了有关其行为的主要问题。
Yao
一个“疯狂”的主意
虽然研究人员仍在试图了解2008年研究的重要性，但哈佛大学教授Yao 已上瘾了特征值问题已有几年了。他研究的特征值来自更广泛的矩阵，其元素是通过随机手段产生的，例如扔硬币或执行其他随机过程。 Yao 想弄清楚矩阵的特征值如何使用不同的随机过程改变。
这个问题可以追溯到1955年，当时物理学家使用随机矩阵来模拟在铀等重原子中原子核的行为。他希望通过研究这些矩阵的特征值来了解系统所具有的能量。
很快，我们注意到了一个奇怪的现象：不同随机矩阵模型的特征值似乎都显示出相同的分布模式。对于任何随机矩阵，每个特征值本身也是随机的 - 如果选择一个数值间隔，则可以计算某个特征值属于此间隔的概率。但是神奇的是，这种概率分布似乎与矩阵的特定结构无关：随机矩阵的元素是仅由1和-1组成，还是可以是任何实数，其特征值落入一定间隔的可能性几乎没有变化。
在他研究的各种随机系统中观察到了意外的普遍行为。如今，数学家进一步扩大了这种行为的应用范围。
据推测，任何随机矩阵的特征值应遵循相同的概率分布。该预测后来被称为普遍猜想。
Yao 说，这个想法太疯狂了，这导致许多人不认为他说的是真的。但是随着时间的流逝，他和其他数学家继续证明，这种猜想在许多不同类型的随机矩阵中都是如此。该理论一次又一次地被证明是正确的。
Yao 开始考虑他可以推动这一猜想的距离。他想找到可以突破对标准矩阵的理解的问题。
因此，在2013年，当他提议研究与随机常规图有关的矩阵的特征值时，他接受了这一挑战。
如果Yao 可以证明这些特征值也符合一般的猜想，那么他可以掌握其概率分布。接下来，他可以使用此信息来计算第二个特征值到达Alon-的概率。
换句话说，他将能够用Alon对赌注做出明确的答案 - 常规图是图的数量。
所以他开始这样做。
即将成功
许多类型的随机矩阵，包括那些启发通用猜想的矩阵，它们本身具有一些良好的特性，从而可以直接计算其特征值分布。但是，邻接矩阵不具备这些特性。
2015年左右，Yao 与他的研究生Huang 提出了一项计划（在2010年至2010年间， 的跨信息研究所的计算机科学实验课程学习）和另外两名合作者。首先，他们将使用一个随机过程对邻接矩阵中的元素进行一些调整，从而产生一个具有所需良好属性的新随机矩阵。
接下来，他们将计算此新矩阵的特征值分布，并证明它满足了普遍性的猜想。
最后，他们还需要证明这些调整足够小，以不影响原始邻接矩阵的特征值 - 这意味着原始的邻接矩阵也满足了一般性的猜想。
Huang 在概率理论领域的研究使他探讨了数学，物理和计算机科学方面的许多困难问题。
2020年，黄博士毕业后，他和他的合作者终于能够使用这种方法将普遍的猜想扩展到常规图表的一定规模。只要该图具有足够的边缘，其第二个特征值将显示几十年前研究的分布。但是，要回答Alon之间的下注，仅仅证明了常规图的一部分是正确的 - 他们需要证明此猜想对于所有常规图都是正确的。
到2022年秋天，一位名叫西奥（Theo）的博士后研究员来到哈佛大学，对Huang ，Yao 及其合作者在2020年证明中使用的工具和方法有深入的了解。他有很多需要“化妆”的内容。 “我们已经研究了这个问题已经很长时间了，” Yao 说。
但是，伯克利大学是加利福尼亚大学的数学家和前博士主管，他说他非常无所畏惧，并不害怕克服这些非常困难的问题。
在花了几个月的深度研究对黄乔亚（Huang ）和雄兹（Yao ）的方法进行了深入研究之后，我终于准备好以新的视角和力量加入。 Yao 说：“您希望有人检查很多细节，并提出各种不同的问题。” “有时候，您只需要更多的人。”
一开始，这三位数学家只能取得部分结果。他们无法准确完成证明策略的第二步 - 计算微型矩阵的特征值分布，因此不足以证明所有常规图都满足了一般性的猜想。但是他们已经能够证明这些特征值仍然满足了一些重要的特性，这些特性强烈暗示了这种猜想很有可能存在。
他们是加入这支数学家团队的最后一个成员 - 他们解决了有关所谓的的辩论，这个问题已经过去了几十年。
“我知道他们接近完全解决这个问题的边缘。”
事实证明，在另一项研究中，Huang 实际上正在尝试最终需要的关键要素。
封闭周期
Huang 正在独立研究一组称为“循环”的数学公式，该公式描述了在随机矩阵模型中特征值的行为。他意识到，如果他和Yao 可以证明他们的矩阵可以足够准确地满足这些方程式，那么就可以弥补他们在推理的第二步中缺少的信息。
他们最终做到了。经过几个月的精心计算，他们完成了证明。所有常规图都遵循一般猜想：随机选择一个常规图，其特征值将显示已知的分布形式。
这也意味着这三位数学家现在知道第二特征值的特定分布。他们可以进一步计算有多少比例具有到达Alon-的第二个特征值，也就是说，有多少比例具有完美扩展图的随机常规图。三十多年后，阿隆终于得到了他们下注的答案。该比率约为69％，这意味着这些图既不常见也不罕见。
我学到的第一件事是。 Huang 说：“他告诉我们，这是他收到的最好的圣诞节礼物。”他笑着说：“所以我们认为这是值得的。”
该结果还表明，普遍的猜想比研究人员最初预期的更广泛，更强大。数学家希望继续突破这种猜想的适用界限，并在此新证明中使用这些技术来解决相关问题。
同时，他们还可以放松一点，并享受在神秘的宇宙中掌握更多知识的乐趣。
阿隆说：“我们不是真的。” “但是，我仍然更靠近右边，因为概率超过一半。”他笑了笑。
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