他与牛津大学的本·格林教授一起证明了关于素数分布的新定律。
关键是证明使用了与规范相关的技术。范数最初是用来研究算术数列的，它们似乎与素数定律无关。
就连作者索尼本人也表示，“作为‘局外人’，几乎无法判断这些事情有关联。”
因此，这项研究不仅是素数领域的一项重要工作，而且揭示了高斯范数的应用潜力。
多伦多大学教授约翰评论道，索尼和格林的这项研究表明，高斯范数可以作为新领域的有力工具。
第一个与陶哲轩一起将素数和范数联系起来的数学家塔玛（齐格勒）也对索尼和格林的研究给予了高度评价：
看到我之前想到的东西有意想不到的新应用，这很有趣。
证明新的素数分布定律
2018年，美国罗格斯大学的研究人员提出了“高斯素数猜想”（ ）：
素数 p 和 q 有无穷多个，因此 p²+4q² 也是素数。
（和之间的合作可以追溯到上世纪，1997年，他们共同证明了a²+b⁴可以组成无数素数）
格林和索尼不仅证明了这个猜想，还把它推广到了更多的情况——
对于满足 n == 0 或 n == 4 (mod 6) 的正整数 n，存在无穷多个素数 p 和 q，使得 p²+nq² 也是素数。
同时，格林和索尼还给出了这些素数个数的渐近公式：
其中∧(n)为von函数，用于检测n是否为素数或素数的幂，N>1，W为权重函数，κ_n为与n相关的常数：
显然，满足条件的素数个数是无法直接计算出来的。
因此，格林和索尼选择弱化先要证明的结论，即先放宽约束——先把p和q的范围放宽到“粗糙素数”。
例如，如果我们想找到 1 到 200 之间的“粗质数”，我们可以找到同时与小质数 2、3、5 和 7 互质（最大公因数为 1）的数字。数字 即 1 到 200 之间的“粗质数”。
（在这些“粗糙素数”中，只有5个数字实际上不是素数，其中包括1个。）
格林和索尼证明，通过对两个“粗素数”求平方并相加，可以得到无限多个素数。
接下来，他们需要证明使用“粗素数”构造的集合与使用实素数构造的集合“足够相似”。
其中最关键的技术突破——规范的运用。
范数是衡量函数“伪随机性”的工具，由数学家蒂莫西·高尔斯 ( ) 在 2001 年提出。
2018年，Tao和Tamar 找到了一种将高斯范数与“I型和”和“II型和”联系起来的方法。
具体到本研究，作者首先通过筛法将问题简化为“I型和”（左）和“II型和”（右）的估计：
筛选方法的核心思想是通过估计这两类的和来过滤掉不满足素数条件的数，从而重点分析那些可能使p²+nq²成为素数的值。
其中，“Type I sum”侧重于单个变量的局部分布，帮助处理低阶贡献； “II 型和”侧重于双变量相互作用并处理高阶分布。
进一步，作者将问题转化为二次虚数域Q(√(-n))，利用理想分解、范数分布以及数域中素理想的性质来研究目标序列的素性。
具体来说，在整数环Z中，研究x²+ny²是否是素数，相当于分析主理想x+y√(-n)是否是Q(√(-n))中的素理想。
接下来就轮到常态出现了。
为了控制“Type II sum”，论文定义了函数 f(x) 和 f'(y)，其中 ∧_Cramér(x) 是 von 函数的低复杂度近似：
作者引入了联系定理和逆定理，并利用范数分析了f(x)和f'(y)的伪随机性，从而证明了它们对二次形式x²+ny²的贡献在大多数情况下是可控的。
也就是说，作者通过筛法和范数证明了关键的中间结果——x和y的组合分布是均匀的。
在最终的表达式中，主项来自数域中范数 N(x+ y√(-n)) 的分布。主项可以利用数域素理想定理得到。
“I型和”和“II型和”带来的误差项可以分别通过筛分分析和范数的均匀性假设来控制。
两者合并后，误差项对主项的影响是次要的。
结合主项和误差项，最终得到目标公式：
源于常态
这项研究的两位作者格林和索尼似乎也有着密切的关系。
格林是牛津大学数学教授、陶哲轩的长期合作者，也是英国皇家学会会员。
索尼先是在宾夕法尼亚大学学习计算机科学，后于2017年转学到麻省理工学院数学专业，并成为赵宇飞的学生。后来，他攻读了博士学位。师从赵雨菲，今年六月毕业。
索尼今年早些时候成为克莱研究员，目前在哥伦比亚大学担任教职。
是什么让两个人走到了一起，这可能是这项研究中使用的规范。
该范数是由 1998 年菲尔兹奖得主、英国数学家蒂莫西·高尔斯 ( ) 在证明塞梅雷迪定理时提出的。
定理与算术序列有关：
如果整数集合A具有正的自然密度，则对于任何正整数k，可以在A中找到包含k项的算术序列。
所谓正自然密度是指当n趋于无穷大时，A与序列1,2,...,n的交集的元素个数与n的比值大于0。
2017年，陶哲轩和Green给出了k=4时的新上限。
2022年，与陶哲轩一起读研究生二年级的詹姆斯·冷（小冷饰）开始研究高尔斯的理论，并引起了索尼和师弟萨赫（小萨饰）的注意。
最终，三人共同将这一结论推广到k为任意值的情况，成为23年来该问题上最重大的突破。
和索尼和格林这次的研究一样，他们三人也使用了范数的逆定理，而这个逆定理的发现者是索尼、小冷和小飒
顺便说一句，索尼和小飒从本科时起就是彼此的科研伙伴。他们的关系非常密切，索尼主页上列出的 70 篇论文中有 60 篇都有肖飒的名字。
本科生时导师赵宇飞对他们的评价是：
（MIT）的本科研究有着悠久的历史和传统，但论文的质量和数量无法达到萨和的水平。
回到索尼本人，索尼和格林终于在今年七月于爱丁堡举行的一次会议上见面。
索尼表示，他一直很欣赏格林，并引用格林20年前所展示的突破性成果作为他选择该主题的原因之一。
格林也对这位年轻的数学家印象深刻，称索尼是一位“不知何故无所不知”的杰出数学家。
于是，两人决定合作，将目光集中在这个“高斯素数猜想”上。
访问牛津一周后，索尼和格林对证明有了想法，并于今年 10 月发布了论文的预印本。
此后，两人继续合作，提出并证明了萨科齐定理的改进界。
论文地址：
本站候鸟号已成立3年，主要围绕财经资讯类，分享日常的保险、基金、期货、理财、股票等资讯，帮助您成为一个优秀的财经爱好者。本站温馨提示：股市有风险，入市需谨慎。
暂无评论